若将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位后所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值为　 　．

解：由[07fd202ca8b455d2.png]，

把该函数的图象右移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为：

[49a4cd3783516c6f.png]sin（2x[eb68131e73c1867c.png]﹣2φ）．

又所得图象关于y轴对称，则[d411bd9d1d93d98b.png]φ＝k[a34aa78336c13a0b.png]，k∈Z．

∴当k＝﹣1时，φ有最小正值是[217213e050e6d392.png]．

故答案为：[418833292d930562.png]．

某大学安排4名毕业生到某企业的三个部门A，B，C实习，要求每个部门至少安排1人，其中甲大学生不能安排到A部门工作，安排方法有　 　种（用数字作答）．

解：根据题意，设4名毕业生为甲、A、B、C，分2种情况讨论：

①，甲单独一人分配到B或C部门，则甲有2种情况，

将A、B、C分成2组，有C31＝3种分组方法，再将2组全排列，分配到其他2个部门，有A22＝2种情况，

则此时有2×3×2＝12种安排方法；

②，甲和其他人一起分配到B或C部门，

在A、B、C中任选1人，与甲一起分配到B或C部门，有C31×2＝6种情况，

将剩余的2人全排列，分配到其他2个部门，有A22＝2种情况，

则此时有6×2＝12种安排方法；

则一共有12+12＝24种不同的安排方法；

故答案为：24

如图，在△ABC中，已知点D在边BC上，且∠DAC＝90°，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3．

（1）求BD长；

（2）求cosC．

（本小题满分12分）

解：（1）∵∠DAC＝90°，

∴sin∠BAC＝sin（[ecad7a9d115d5420.png]+∠BAD）＝cos∠BAD，

∴cos∠BAD＝[24af2b83274d681b.png]，…（2分）

在△ABD中，由余弦定理得，BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD，…（4分）

即BD2＝18+9﹣2×[58a768a21b6483f2.png][30e55ac41813f4f9.png]＝3，得BD＝[ea2e2795ff2bcdaa.png]．…（6分）

（2）由cos∠BAD＝[e437961013978254.png]，得sin∠BAD＝[71b2e1e787bdaf56.png]，…（8分）

在△ABD中，由正弦定理，得：[f1a04150208cd71a.png]．

∴sin∠ADB＝[417c1255d1ade446.png]＝[7b0ea95726c50680.png]＝[805ce181fbc20a80.png]，…（10分）

∵∠ADB＝∠DAC+C＝[afa649e9990d37ce.png]+C，

∴cosC＝[1ac52777acf3cbf8.png]．…

[f35fe995e7e5806c.png]

已如图，已知矩形ABCD中，AD＝2AB＝2，点E是AD的中点，将△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′﹣EC﹣B是直二面角．

（1）证明：BE⊥CD′；

（2）求二面角D′﹣BC﹣E的余弦值．

解：（1）证明：∵AD＝2AB＝2，E是AD的中点，

∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC＝90°，

又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC＝EC

∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．

（2）如图，以EB，EC为x轴、y轴，过E垂直于平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系．

则[de56d2287f954222.png]

设平面BEC的法向量为[c758da1470b02ce3.png]；平面D'BC的法向量为[e2e11f753706ab73.png]

[129b3be63051943d.png]，

[8430af77890421a6.png]代入整理可得：[f6a924eb791c139a.png]

不妨取x2＝l

得[725237459d7b9d55.png]，

∴[a90d1a627fdc13fa.png]

∴二面角D'﹣BC﹣E的余弦值为[72a0dd8677a494bc.png]．

[d8c002b8d97dc83c.png]

某学校为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．整理评分数据，将分数以10为组距分成6组：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐厅分数的频率分布直方图和B餐厅分数的频数分布表：

定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：

（1）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数；

（2）以频率估计概率，从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；

（3）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．

（本小题满分13分）

解：（1）由对A餐厅评分的频率分布直方图，得

对A餐厅“满意度指数”为0的频率为（0.003+0.005+0.012）×10＝0.2，[（2分）]

所以，对A餐厅评价“满意度指数”为0的人数为100×0.2＝20．[（3分）]

（2）设“对A餐厅评价‘满意度指数’比对B餐厅评价‘满意度指数’高”为事件C．

记“对A餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件A1；“对A餐厅评价‘满意度指数’为2”为事件A2；“对B餐厅评价‘满意度指数’为0”为事件B0；“对B餐厅评价‘满意度指数’为1”为事件B1．

所以P（A1）＝（0.02+0.02）×10＝0.4，P（A2）＝0.4，[]

由用频率估计概率得：[93486501b6d8495d.png]，[cf46fb851238b04d.png]．[（7分）]

因为事件Ai与Bj相互独立，其中i＝1，2，j＝0，1．

所以P（C）＝P（A1B0+A2B0+A2B1）

＝0.4×0.1+0.4×0.1+0.4×0.55＝0.3．[（10分）]

所以该学生对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高

的概率为0.3．

（3）如果从学生对A，B两家餐厅评价的“满意度指数”的期望角度看：

A餐厅“满意度指数”X的分布列为：

[c896315cb4a92576.png]

B餐厅“满意度指数”Y的分布列为：

[703ca49106f3455b.png]

因为EX＝0×0.2+1×0.4+2×0.4＝1.2；

EY＝0×0.1+1×0.55+2×0.35＝1.25，

所以EX＜EY，会选择B餐厅用餐．[（13分）]

注：本题答案不唯一．只要考生言之合理即可．

已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为点F1，F2，其离心率为，短轴长为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点F1的直线l1与椭圆C交于M，N两点，过点F2的直线l2与椭圆C交于P，Q两点，且l1∥l2，证明：四边形MNPQ不可能是菱形．

（1）解：由已知，得[7ed6c757a3879ad1.png]，[a466d27d9cf3b1de.png]，

又c2＝a2﹣b2，

故解得a2＝4，b2＝3，

所以椭圆C的标准方程为[37af9593f31b9a8d.png]．

（2）证明：由（1），知F1（﹣1，0），如图，

易知直线MN不能平行于x轴，

所以令直线MN的方程为x＝my﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），

联立方程[245712acba199aa2.png]

得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，

所以[7f8b29ac53d24e08.png]，[f740b0ba599d0d96.png]．

此时[345347926a66f63d.png]．

同理，令直线PQ的方程为x＝my+1，P（x3，y3），Q（x4，y4），

此时[7b3becdfc200f949.png]，[bd3ac4164c3ad9bb.png]，

此时[05011b61e7ffd252.png]，

故|MN|＝|PQ|．所以四边形MNPQ是平行四边形．

若平行四边形MNPQ是菱形，则OM⊥ON，即[dd99aa9e364f02a8.png]，

于是有x1x2+y1y2＝0．

又x1x2＝（my1﹣1）（my2﹣1）＝m2y1y2﹣m（y1+y2）+1，

所以有（m2+1）y1y2﹣m（y1+y2）+1＝0，

整理得到[081099f340cef47e.png]，

即12m2+5＝0，

上述关于m的方程显然没有实数解，

故四边形MNPQ不可能是菱形．

[b1d719dffe1665c4.png]

已知函数f（x）＝2lnx﹣2mx+x2（m＞0）．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）当m时，若函数f（x）的导函数f′（x）的图象与x轴交于A，B两点，其横坐标分别为x1，x2（x1＜x2），线段AB的中点的横坐标为x0，且x1，x2恰为函数h（x）＝lnx﹣cx2﹣bx的零点．求证（x1﹣x2）h'（x0）≥+ln2．

解：（1）由于f（x）＝2lnx﹣2mx+x2的定义域为（0，+∞），[7eb4a82322f40ea3.png]．

对于方程x2﹣mx+1＝0，其判别式△＝m2﹣4．

当m2﹣4≤0，即0＜m≤2时，f'（x）≥0恒成立，故f（x）在（0，+∞）内单调递增．

当m2﹣4＞0，即m＞2，方程x2﹣mx+1＝0恰有两个不相等是实根[ed84826a80ceeb2e.png]，

令f'（x）＞0，得[6bcb325ac18f6e7e.png]或[d0a58d96786b7ed3.png]，此时f（x）单调递增；

令f'（x）＜0，得[a434d35cf040a792.png]，此时f（x）单调递减．

综上所述，当0＜m≤2时，f（x）在（0，+∞）内单调递增；

当m＞2时，f（x）在[16bdba04c5893794.png]内单调递减，

在[4217e229c0227dbb.png]，[8562b7d038feee46.png]内单调递增．

（2）证明：由（1）知，[4e19f5c2ef2c6e56.png]，

所以f'（x）的两根x1，x2即为方程x2﹣mx+1＝0的两根．

因为[f052dac2ebc1e1c1.png]，所以△＝m2﹣4＞0，x1+x2＝m，x1x2＝1．

又因为x1，x2为h（x）＝lnx﹣cx2﹣bx的零点，

所以[29a31c2ed4007575.png]，[f9ec5d1ce2a630f5.png]，两式相减得[3aad0f3e9f3dfb1e.png]，

得[22a5f8af12af188a.png]．而[921a39a82822c3cd.png]，

所以（x1﹣x2）h'（x0）＝[d0315611897fb0cb.png]

＝[86774dafdcf2f558.png]＝[1cc2a78254d0467d.png]＝[4726a41991482267.png]．

令[f5909b5644a2fc45.png]，由[99b7a0cc9bf88098.png]得[b14b8649a34d7636.png]，

因为x1x2＝1，两边同时除以x1x2，得[cdafede166a041a6.png]，

因为[9cfa01274d7b6551.png]，故[feef66cbdcc2e45b.png]，解得[df6c2613c850278f.png]或t≥2，所以[2cf4821dc5e90dae.png]．

设[a0e579756be78dcb.png]，所以[2924eff2cda51614.png]，

则y＝G（t）在[748164a802d852cd.png]上是减函数，

所以[d9cad482f1626c0a.png]，

即y＝（x1﹣x2）h'（x0）的最小值为[e09d503645df0ca2.png]．

所以[7d1e4d2ceb0c2fa3.png]．

已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ，直线l与圆C交于A，B两点．

（1）求圆C的直角坐标方程及弦AB的长；

（2）动点P在圆C上（不与A，B重合），试求△ABP的面积的最大值．

解：（1）由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，

所以x2+y2﹣4x＝0，所以圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4．

将直线l的参数方程代入圆C：（x﹣2）2+y2＝4，并整理得[48eebee4e3c695be.png]，

解得t1＝0，[91c81d7706bb2b5c.png]．

所以直线l被圆C截得的弦长为[97905cc7486e4292.png]．

（2）直线l的普通方程为x﹣y﹣4＝0．

圆C的参数方程为[1b3605aecc240e58.png]（θ为参数），

可设曲线C上的动点P（2+2cosθ，2sinθ），

则点P到直线l的距离[69d99e04af21dac8.png]＝[3e47bb6331195848.png]，

当[f73ced4d9287ca88.png]时，d取最大值，且d的最大值为[fd24a66694db2bb8.png]．

所以[4ba12011ea6d6372.png]，

即△ABP的面积的最大值为2+2[16d67fe0c840996b.png]．

已知函数f（x）＝|2x﹣2|+|2x+3|．

（1）求不等式f（x）＜15的解集；

（2）若f（x）≥a﹣x2+x对于x∈R恒成立，求a的取值范围．

解：（1）函数f（x）＝|2x﹣2|+|2x+3|＝[04c5594e8d68d665.png]；

当[8793faf72fe75d1b.png]时，有﹣4x﹣1＜15，解得x＞﹣4，即[3df72fc76e2a6d31.png]；

当[59be75b77d8b8ac9.png]时，5＜15恒成立，即[4dcb3c0d0ffad9eb.png]；

当x≥1时，有4x+1＜15，解得[0cdb87c6637d58ed.png]，即[bf0b1ebc5f59bb8f.png]；

综上，不等式f（x）＜15的解集为[f52ad7603f468310.png]；

（2）由f（x）≥a﹣x2+x恒成立，得a≤|2x﹣2|+|2x+3|+x2﹣x恒成立，

∵|2x﹣2|+|2x+3|≥|（2x﹣2）﹣（2x+3）|＝5，

当且仅当（2x﹣2）•（2x+3）≤0，即[8b50d584d998568d.png]是等号成立；

又因为[82284da0f0e55c7e.png]，当且仅当[66fa066e3e098339.png]时等号成立，

又因为[a7de8afa52c5a9dd.png]，

所以[2cd3be3d8671577b.png]，

所以a的取值范围是[4789d49e4d0157a7.png]．

已知集合M={x|x＞3}，N={x|x2-7x+10≤0}，则M∪N=（　　）

A:[2，3） B:（3，5] C:（-∞，5] D:[2，+∞）