如图所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、MN、FN，过△FMN三边的中点作△PQW．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：

（1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4．试问x为何值时，△PQW为直角三角形？

（3）试用含的代数式表示MN2，并求当x为何值时，MN2最小？求此时MN2的值．

解：（1）由题意可知P、W、Q分别是△FMN三边的中点，

∴PW是△FMN的中位线，即PW∥MN，

∴[0c3baa1c6cfcfe1f.png]=[0bd0254ed5ad24bf.png]=[d977323cf42b446d.png]=[e8cb41ec1b1fa095.png]，

∴△FMN∽△QWP；

（2）由（1）得，△FMN∽△QWP，

∴当△QWP为直角三角形时，△FMN为直角三角形，反之亦然．

由题意可得DM=BN=x，AN=6﹣x，AM=4﹣x，

由勾股定理分别得FM2=4+x2，MN2=（4﹣x）2+（6﹣x）2，

过点N作NK⊥CD于K，

∴CK=BN=x，

∵CF=CD﹣DF=6﹣2=4，

∴FK=4﹣x，

∴FN2=NK2+FK2=（4﹣x）2+16，

①当MN2=FM2+FN2时，（4﹣x）2+（6﹣x）2=4+x2+（4﹣x）2+16，

解得[17eff2c1e5e2deb5.png]，

②当FN2=FM2+MN2时，（4﹣x）2+16=4+x2+（4﹣x）2+（6﹣x）2

此方程无实数根，

③FM2=MN2+FN2时，4+x2=（4﹣x）2+（6﹣x）2+（4﹣x）2+16，

解得x1=10（不合题意，舍去），x2=4，

综上，当[a0a57a0e3347e80b.png]或x=4时，△PQW为直角三角形．

（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，MN≥AN，AN=6﹣x，

故只有当x=4时，MN的值最小，MN2的值也最小，此时MN=2，MN2=4，（10分）

②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x﹣4）2+（6﹣x）2，

=2（x﹣5）2+2，

当x=5时，MN2取得最小值2，

∴当x=5时，MN2的值最小，此时MN2=2．

[9063b8e34bdee67e.png]

如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：

（1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？

（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．

解：（1）根据三角形中位线定理得 PQ∥FN，PW∥MN，

∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF，

∴∠QPW=∠MNF．

同理∠PQW=∠NFM，

∴△FMN∽△QWP；

（2）由于△FMN∽△QWP，故当△QWP是直角三角形时，△FMN也为直角三角形．

作FG⊥AB，则四边形FCBG是正方形，有GB=CF=CD﹣DF=4，GN=GB﹣BN=4﹣x，DM=x，

①当MF⊥FN时，

∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°，

∴∠DFM=∠GFN．

∵∠D=∠FGN=90°，

∴△DFM∽△GFN，

∴DF：FG=DM：GN=2：4=1：2，

∴GN=2DM，

∴4﹣x=2x，

∴x=[097a0a9226cd7f79.png]；

②当MN⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，

∴x=AD=GB=4．

∴当x=4或[6ebb1e72c824ea20.png]时，△QWP为直角三角形，当0≤x＜[3c99b3efb6ac2a26.png]，[dce45f085a86a9b8.png]＜x＜4时，△QWP不为直角三角形．

（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，只有当x=4时，MN的值最小，等于2；

②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x﹣4）2+（6﹣x）2

=2（x﹣5）2+2

当x=5时，MN2=2，故MN取得最小值[573a1264f27e063c.png]，

故当x=5时，线段MN最短，MN=[fbae44d59b24215b.png]．

[38de546512deadc3.png]

[1edb2e303f3971c9.png]

[aba61cbd96628317.png]

如图，矩形ABCD的边AB=6cm，BC=4cm，点F在DC上，DF=2cm．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，再连接△FMN三边的中点得

△PQW．设动点M、N的速度都是1cm/s，M、N运动的时间为ts．

（1）试说明△FMN∽△QWP；

（2）在点M运动的过程中，

①当t为何值时，线段MN最短？并求出此时MN的长．

②当t为何值时，△PQW是直角三角形？

（1）证明：如图1，

∵点P、点Q、点W分别是FM、MN、NF的中点，

∴PQ=[7d6e7cd636ae0769.png]FN，QW=[204c08e22471fad3.png]FM，PW=[8377f72ee37a060c.png]MN．

∴[532533d6508f0734.png]=[5db91da5723fcffc.png]=[281f046e1721f24b.png]=2．

∴△FMN∽△QWP．

（2）解：①∵四边形ABCD是矩形，

∴∠DAB=∠B=∠C=∠D=∠90°，AD=BC=4cm，DC=AB=6cm．

由题可得：DM=BN=1×t=t（cm）．

则有AM=[62e9b0f2c084e5b0.png]，AN=6﹣t．

∴MN2=AM2+AN2

=（4﹣t）2+（6﹣t）2

=2t2﹣20t+52

=2（t﹣5）2+2．

∵2＞0，

∴当t=5时，MN2最小，最小值为2．

∴当t=5时，MN取到最小值，最小值为[10534a8622d7dc43.png]．

②∵△FMN∽△QWP，

∴∠PQW=∠NFM，∠QWP=∠FMN，∠WPQ=∠MNF．

Ⅰ．当∠PQW=90°时，∠NFM=90°．

过点N作NE⊥DC，垂足为E，如图2，

∵∠MDF=∠MFN=∠FEN=90°，

∴∠DFM=90°﹣∠EFN=∠ENF．

∴△MDF∽△FEN．

∴[d8a4bf5562cdc2e8.png]=[2e18be631acf786c.png]．

∵DM=t，DF=2，EF=CF﹣CE=6﹣2﹣t=4﹣t，EN=BC=4，

∴[68e809da36562b36.png]=[5035cbc82109301c.png]．

解得：t=[5ea8a6f3f2ca90aa.png]．

经检验t=[09ad1382fd0a353c.png]是方程的解，且符合题意．

Ⅱ．当∠PWQ=90°时，∠NMF=90°．

同理可得：△MDF∽△NAM．

则有[cd14a536dc815211.png]=[3bc7d57527fa77a6.png]．

∵DF=2，DM=t，AM=4﹣t，AN=6﹣t，

∴[47f7c19c1d57e250.png]=[eff2a50ade7d0b31.png]．

整理得：t2﹣6t+12=0．

∵（﹣6）2﹣4×1×12=﹣12＜0，

∴方程无实数根．

Ⅲ．当∠WPQ=90°时，∠MNF=90°．

（a）当0＜t＜4时，如图2，有∠MNF＜∠ANE=90°；

（b）当t=4时，AN=DF=2，DM=DA=4，如图3，

此时点M与点A重合．

∵四边形ABCD是矩形，

∴DC∥AB．

∵DF∥AN，DF=AN，∠D=90°，

∴四边形ANFD是矩形．

∴∠ANF=90°．

∴∠MNF=∠ANF=90°．

（c）当4＜t≤6时，∠MNF＞90°．

综上所述：当t为[a13dfb505991c397.png]或4秒时，△PQW是直角三角形．

[befc6f9a2bad0eb5.png]

[136c18db2987d90c.png]

[02f9c22458b3173c.png]

如图所示的实验操作正确的是（　　）

A:倾倒液体 C:量取液体 D:闻气体气味

如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F在DC上，DF=2．动点M、N分别从点D、B同时出发，沿射线DA、线段BA向点A的方向运动（点M可运动到DA的延长线上），当动点N运动到点A时，M、N两点同时停止运动．连接FM、FN，当F、N、M不在同一直线时，可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PWQ．设动点M、N的速度都是1个单位/秒，M、N运动的时间为x秒．试解答下列问题：

（1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4（即M从D到A运动的时间段）．试问x为何值时，△PWQ为直角三角形？当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？

（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值．

解：（1）根据三角形中位线定理得 PQ∥FN，PW∥MN，

∴∠QPW=∠PWF，∠PWF=∠MNF，

∴∠QPW=∠MNF．

同理∠PQW=∠NFM，

∴△FMN∽△QWP；

（2）由于△FMN∽△QWP，故当△QWP是直角三角形时，△FMN也为直角三角形．

作FG⊥AB，则四边形FCBG是正方形，有GB=CF=CD﹣DF=4，GN=GB﹣BN=4﹣x，DM=x，

①当MF⊥FN时，

∵∠DFM+∠MFG=∠MFG+∠GFN=90°，

∴∠DFM=∠GFN．

∵∠D=∠FGN=90°，

∴△DFM∽△GFN，

∴DF：FG=DM：GN=2：4=1：2，

∴GN=2DM，

∴4﹣x=2x，

∴x=[9a0becb80c844f59.png]；

②当MN⊥FN时，点M与点A重合，点N与点G重合，

∴x=AD=GB=4．

∴当x=4或[bb79495096d795fa.png]时，△QWP为直角三角形，当0≤x＜[d12a5ea1b9ae83ba.png]，[4fd7fbeb3a4b92ae.png]＜x＜4时，△QWP不为直角三角形．

（3）①当0≤x≤4，即M从D到A运动时，只有当x=4时，MN的值最小，等于2；

②当4＜x≤6时，MN2=AM2+AN2=（x﹣4）2+（6﹣x）2

=2（x﹣5）2+2

当x=5时，MN2=2，故MN取得最小值[56115d77f76ccc04.png]，

故当x=5时，线段MN最短，MN=[bebae5f176e5c0ed.png]．

[83a849d31e1e2c3a.png]

[9bc2398ac618b6a5.png]

[a29feb467495077e.png]

如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F.在DC上，DF=2。动点M.、N.分别

从点D.、B.同时出发，沿射线DA、线段BA向点A.的方向运动（点M.可运动到DA的延长线上），

当动点N.运动到点A.时，M.、N.两点同时停止运动。连接FM、FN，当F.、N.、M.不在同一直线时，

可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M.、N.的速度都是1个单位/秒，M.、N.运动的

时间为x秒。试解答下列问题：

（1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4（即M.从D.到A.运动的时间段）。试问x为何值时，△PQW为直角三角形？

当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？

（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值。

（1）提示：∵PQ∥FN，PW∥MN  ∴∠QPW =∠PWF，∠PWF =∠MNF  ∴∠QPW =∠MNF

同理可得：∠PQW =∠NFM或∠PWQ =∠NFM      ∴△FMN∽△QWP

（2）当时，△PQW为直角三角形；

当0≤x<，

如图（1），（2）所示，矩形ABCD的边长AB=6，BC=4，点F.在DC上，DF=2。动点M.、N.分别

从点D.、B.同时出发，沿射线DA、线段BA向点A.的方向运动（点M.可运动到DA的延长线上），

当动点N.运动到点A.时，M.、N.两点同时停止运动。连接FM、FN，当F.、N.、M.不在同一直线时，

可得△FMN，过△FMN三边的中点作△PQW。设动点M.、N.的速度都是1个单位/秒，M.、N.运动的

时间为x秒。试解答下列问题：

（1）说明△FMN∽△QWP；

（2）设0≤x≤4（即M.从D.到A.运动的时间段）。试问x为何值时，△PQW为直角三角形？

当x在何范围时，△PQW不为直角三角形？

（3）问当x为何值时，线段MN最短？求此时MN的值。

（1）提示：∵PQ∥FN，PW∥MN  ∴∠QPW =∠PWF，∠PWF =∠MNF  ∴∠QPW =∠MNF

同理可得：∠PQW =∠NFM或∠PWQ =∠NFM      ∴△FMN∽△QWP

（2）当时，△PQW为直角三角形；

当0≤x<，<x<4时，△PQW不为直角三角形。

（3）