已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，4an+1=3an﹣bn+4，4bn+1=3bn﹣an﹣4．

（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an﹣bn}是等差数列；

（2）求{an}和{bn}的通项公式．

解：（1）证明：∵4an+1=3an﹣bn+4，4bn+1=3bn﹣an﹣4；

∴4（an+1+bn+1）=2（an+bn），4（an+1﹣bn+1）=4（an﹣bn）+8；

即an+1+bn+1=[95dccd43cb9f68f1.png]（an+bn），an+1﹣bn+1=an﹣bn+2；

又a1+b1=1，a1﹣b1=1，

∴{an+bn}是首项为1，公比为[17f5ddd2718ad0b1.png]的等比数列，

{an﹣bn}是首项为1，公差为2的等差数列；

（2）由（1）可得：an+bn=（[018ed91082cbbfc6.png]）n﹣1，

an﹣bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1；

∴an=（[1f431ebcdfdea196.png]）n+n﹣[7296bafbcebcd693.png]，

bn=（[78884fade7030d25.png]）n﹣n+[7f092f8b45bd27a4.png]．

已知函数f（x）=lnx﹣．

（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；

（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y=ex的切线．

解析：（1）函数f（x）=lnx﹣[cd4c38e7381af4e8.png]．定义域为：（0，1）∪（1，+∞）；

f′（x）=[3bb3883d5d85a14a.png]+[a50f5ef1c941889f.png]＞0，（x＞0且x≠1），

∴f（x）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，

①在（0，1）区间取值有[aba3c60bc934d657.png]，[1204f19355dd1385.png]代入函数，由函数零点的定义得，

∵f（[5a0a864cf58f6784.png]）＜0，f（[293bdf6dad58763a.png]）＞0，f（[9a0e8ee222981791.png]）•f（[e7a5ecff3de089b2.png]）＜0，

∴f（x）在（0，1）有且仅有一个零点，

②在（1，+∞）区间，区间取值有e，e2代入函数，由函数零点的定义得，

又∵f（e）＜0，f（e2）＞0，f（e）•f（e2）＜0，

∴f（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，

故f（x）在定义域内有且仅有两个零点；

（2）x0是f（x）的一个零点，则有lnx0=[56bbce982cae76d4.png]，

曲线y=lnx，则有y′=[82161d9c79d8ce15.png]；

曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线方程为：y﹣lnx0=[46b91d57d5c97ca8.png]（x﹣x0）

即：y=[9f8457da63c6b799.png]x﹣1+lnx0

即：y=[4d8fc0f1ea0aa1a8.png]x﹣[2b6f7bea5463effe.png]

而曲线y=ex的切线在点（ln[2dd7de3e7813fa56.png]，[d665e0fc664ffcba.png]）处的切线方程为：y﹣[9e2b1e7a8e1ec972.png]=[d8abc9d82de0a57c.png]（x﹣ln[7054ae3fbd0cce62.png]），

即：y=[3f5a876c0899f385.png]x﹣[011b8fb93a5ed98a.png]，故曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y=ex的切线．

故得证．

已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣．记M的轨迹为曲线C．

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．

（i）证明：△PQG是直角三角形；

（ii）求△PQG面积的最大值．

解：（1）由题意得[be1f92071db1d22c.png]，

整理得曲线C的方程：[e53ea0fe84b659e4.png]，

∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；

（2）[4d40ff541f963bad.png]

（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），

E（x0，0），G（xG，yG），

∴直线QE的方程为：[b7114d3467c36f6f.png]，

与[da7dd1dd647c6afe.png]联立消去y，

得[eae6e8ee62147937.png][5ad659b1d834d06b.png][3da518c83397013e.png]，

∴[217942970afca11c.png]，

∴[93a6cdd7ddd4b6c5.png]，

∴[243147cfe978583c.png]=[b0936db0aee0dee6.png]，

∴[bba1704f7963563c.png]

=[5840d088cd536e3d.png]

=[b5df37cddbf1669d.png]

=[627349744925208a.png]，

把[743ffb7896b394a4.png]代入上式，

得kPG=[8027489015420a5e.png]

=[0530473900a55367.png]

=﹣[84990cd3d7dc261a.png]，

∴kPQ×kPG=[947ae3a83b9a6f56.png]=﹣1，

∴PQ⊥PG，

故△PQG为直角三角形；

（ii）S△PQG=[fb71b5efd849bd06.png]

=[17b30940ed3e888b.png]

=[083deb6e59f370da.png]

=[24cafc427132334a.png]

=[84e646246569164b.png]

=[6d507636b70258a8.png]

=[c5b1bf1517c0998d.png]

=[26177e5d3c1886f4.png]

=[acd376efc4918768.png]

=[2e846d84018fbf32.png]

令t=[5a4741a0dcdc415d.png]，则t≥2，

S△PQG=[7e1478398347f6d1.png]=[98e1282775ce3263.png]

利用“对号”函数f（t）=2t+[b51b10385b6b8d6b.png]在[2，+∞）的单调性可知，

f（t）[80cd29d0fd8f885c.png]（t=2时取等号），

∴[d2df285fc306bdba.png]=[d728b356b1469737.png]（此时[dec72ef97b633187.png]），

故△PQG面积的最大值为[e4a3298ef5dcc06d.png]．

在极坐标系中，O为极点，点M（ρ0，θ0）（ρ0＞0）在曲线C：ρ=4sinθ上，直线l过点A（4，0）且与OM垂直，垂足为P．

（1）当θ0=时，求ρ0及l的极坐标方程；

（2）当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．

解：（1）当θ0=[04d3cae27af0b81d.png]时，[f08df1c7c86f687f.png]，

在直线l上任取一点（ρ，θ），则有[47e387451466846d.png]，

故l的极坐标方程为有[0ed28612e9a6813a.png]；

（2）设P（ρ，θ），则在Rt△OAP中，有ρ=4cosθ，

∵P在线段OM上，∴θ∈[[d9e35e06d5519b52.png]，[259190a13688b524.png]]，

故P点轨迹的极坐标方程为ρ=4cosθ，θ∈[[716c6548dd5eeeab.png]，[0719c506be88287c.png]]．

[afa5d7db32317eea.png]

已知f（x）=|x﹣a|x+|x﹣2|（x﹣a）．

（1）当a=1时，求不等式f（x）＜0的解集；

（2）当x∈（﹣∞，1）时，f（x）＜0，求a的取值范围．

解：（1）当a=1时，f（x）=|x﹣1|x+|x﹣2|（x﹣1），

∵f（x）＜0，∴当x＜1时，f（x）=﹣2（x﹣1）2＜0，恒成立，∴x＜1；

当x≥1时，f（x）=（x﹣1）（x+|x﹣2|）≥0恒成立，∴x∈∅；

综上，不等式的解集为（﹣∞，1）；

（2）当a≥1时，f（x）=2（a﹣x）（x﹣1）＜0在x∈（﹣∞，1）上恒成立；

当a＜1时，x∈（a，1），f（x）=2（x﹣a）＞0，不满足题意，

∴a的取值范围为：[1，+∞）

已知集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（　　）

A:{﹣1，0，1} B:{0，1} C:{﹣1，1} D:{0，1，2}

若z（1+i）=2i，则z=（　　）

A:﹣1﹣i B:﹣1+i C:1﹣i D:1+i

两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（　　）

A: B: C: D:

《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（　　）

A:0.5 B:0.6 C:0.7 D:0.8

函数f（x）=2sinx﹣sin2x在[0，2π]的零点个数为（　　）

A:2 B:3 C:4 D:5