设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）=2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）=x（x﹣1）．若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是（　　）

A:（﹣∞，] B:（﹣∞，] C:（﹣∞，] D:（﹣∞，]

我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为　 　．

解：∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，

有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，

∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：

[174e77ff0c3aea21.png]=[561d57a18b7d68d3.png]（10×0.97+20×0.98+10×0.99）=0.98．

故答案为：0.98．

已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）=﹣eax．若f（ln2）=8，则a=　 　．

解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）=﹣8，

又∵当x＜0时，f（x）=﹣eax，

∴f（﹣ln2）=﹣e﹣aln2=﹣8，

∴﹣aln2=ln8，∴a=﹣3．

故答案为：﹣3

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若b=6，a=2c，B=，则△ABC的面积为　 　．

解：由余弦定理有b2=a2+c2﹣2accosB，

∵b=6，a=2c，B=[62f30de849bb935f.png]，

∴[d310f52b5c2213d3.png]，

∴c2=12，

∴[af1e5aad92751713.png]，

故答案为：[5435eb3c4300666f.png]．

中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有　 　个面，其棱长为　 　．

解：该半正多面体共有8+8+8+2=26个面，设其棱长为x，则x+[10dc23c91e119b19.png]x+[5e8c7a98d3929e24.png]x=1，解得x=[d2e789219a2e660d.png]﹣1．

故答案为：26，[8e11cc24066f048c.png]﹣1．

如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．

（1）证明：BE⊥平面EB1C1；

（2）若AE=A1E，求二面角B﹣EC﹣C1的正弦值．

证明：（1）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥平面ABA1B1，

∴B1C1⊥BE，∵BE⊥EC1，

∴BE⊥平面EB1C1．

解：（2）以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AE=A1E=1，∵BE⊥平面EB1C1，∴BE⊥EB1，∴AB=1，

则E（1，1，1），A（1，1，0），B1（0，1，2），C1（0，0，2），C（0，0，0），

∵BC⊥EB1，∴EB1⊥面EBC，

故取平面EBC的法向量为[21b60a4bca79f25b.png]=[4030685a61eb8007.png]=（﹣1，0，1），

设平面ECC1 的法向量[9ad3ba9c2aa78b52.png]=（x，y，z），

由[1abdc17ca4a95a81.png]，得[34532ff24fbd08f5.png]，取x=1，得[512c28736b9ef0fa.png]=（1，﹣1，0），

∴cos＜[b6231443202522d9.png]＞=[1bce1df5b38239da.png]=﹣[194eace62a80fbea.png]，

∴二面角B﹣EC﹣C1的正弦值为[ddcfb29d0da7aceb.png]．

[81503885b3684b4d.png]

11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10：10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10：10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．

（1）求P（X=2）；

（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．

解：（1）设双方10：10平后的第k个球甲获胜为事件Ak（k=1，2，3，…），

则P（X=2）=P（A1A2）+P（[1287637e9dcbdaed.png]）

=P（A1）P（A2）+P（[7e423b85be39da14.png]）P（[66ced1936be89674.png]）

=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5．

（2）P（X=4且甲获胜）=P（[0c8a0d732bffacca.png]A2A2A4）+P（[0082fecf00e5b361.png]）

=P（[6d5c98febea7bbf7.png]）P（A2）P（A3）P（A4）+P（A1）P（[0ffa7bd9ba69e42b.png]）P（A3）P（A4）

=（0.5×0.4+0.5×0.6）×0.5×0.4=0.1．

已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，4an+1=3an﹣bn+4，4bn+1=3bn﹣an﹣4．

（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an﹣bn}是等差数列；

（2）求{an}和{bn}的通项公式．

解：（1）证明：∵4an+1=3an﹣bn+4，4bn+1=3bn﹣an﹣4；

∴4（an+1+bn+1）=2（an+bn），4（an+1﹣bn+1）=4（an﹣bn）+8；

即an+1+bn+1=[95dccd43cb9f68f1.png]（an+bn），an+1﹣bn+1=an﹣bn+2；

又a1+b1=1，a1﹣b1=1，

∴{an+bn}是首项为1，公比为[17f5ddd2718ad0b1.png]的等比数列，

{an﹣bn}是首项为1，公差为2的等差数列；

（2）由（1）可得：an+bn=（[018ed91082cbbfc6.png]）n﹣1，

an﹣bn=1+2（n﹣1）=2n﹣1；

∴an=（[1f431ebcdfdea196.png]）n+n﹣[7296bafbcebcd693.png]，

bn=（[78884fade7030d25.png]）n﹣n+[7f092f8b45bd27a4.png]．

已知函数f（x）=lnx﹣．

（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；

（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y=ex的切线．

解析：（1）函数f（x）=lnx﹣[cd4c38e7381af4e8.png]．定义域为：（0，1）∪（1，+∞）；

f′（x）=[3bb3883d5d85a14a.png]+[a50f5ef1c941889f.png]＞0，（x＞0且x≠1），

∴f（x）在（0，1）和（1，+∞）上单调递增，

①在（0，1）区间取值有[aba3c60bc934d657.png]，[1204f19355dd1385.png]代入函数，由函数零点的定义得，

∵f（[5a0a864cf58f6784.png]）＜0，f（[293bdf6dad58763a.png]）＞0，f（[9a0e8ee222981791.png]）•f（[e7a5ecff3de089b2.png]）＜0，

∴f（x）在（0，1）有且仅有一个零点，

②在（1，+∞）区间，区间取值有e，e2代入函数，由函数零点的定义得，

又∵f（e）＜0，f（e2）＞0，f（e）•f（e2）＜0，

∴f（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，

故f（x）在定义域内有且仅有两个零点；

（2）x0是f（x）的一个零点，则有lnx0=[56bbce982cae76d4.png]，

曲线y=lnx，则有y′=[82161d9c79d8ce15.png]；

曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线方程为：y﹣lnx0=[46b91d57d5c97ca8.png]（x﹣x0）

即：y=[9f8457da63c6b799.png]x﹣1+lnx0

即：y=[4d8fc0f1ea0aa1a8.png]x﹣[2b6f7bea5463effe.png]

而曲线y=ex的切线在点（ln[2dd7de3e7813fa56.png]，[d665e0fc664ffcba.png]）处的切线方程为：y﹣[9e2b1e7a8e1ec972.png]=[d8abc9d82de0a57c.png]（x﹣ln[7054ae3fbd0cce62.png]），

即：y=[3f5a876c0899f385.png]x﹣[011b8fb93a5ed98a.png]，故曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y=ex的切线．

故得证．

已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣．记M的轨迹为曲线C．

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；

（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．

（i）证明：△PQG是直角三角形；

（ii）求△PQG面积的最大值．

解：（1）由题意得[be1f92071db1d22c.png]，

整理得曲线C的方程：[e53ea0fe84b659e4.png]，

∴曲线C是焦点在x轴上不含长轴端点的椭圆；

（2）[4d40ff541f963bad.png]

（i）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），

E（x0，0），G（xG，yG），

∴直线QE的方程为：[b7114d3467c36f6f.png]，

与[da7dd1dd647c6afe.png]联立消去y，

得[eae6e8ee62147937.png][5ad659b1d834d06b.png][3da518c83397013e.png]，

∴[217942970afca11c.png]，

∴[93a6cdd7ddd4b6c5.png]，

∴[243147cfe978583c.png]=[b0936db0aee0dee6.png]，

∴[bba1704f7963563c.png]

=[5840d088cd536e3d.png]

=[b5df37cddbf1669d.png]

=[627349744925208a.png]，

把[743ffb7896b394a4.png]代入上式，

得kPG=[8027489015420a5e.png]

=[0530473900a55367.png]

=﹣[84990cd3d7dc261a.png]，

∴kPQ×kPG=[947ae3a83b9a6f56.png]=﹣1，

∴PQ⊥PG，

故△PQG为直角三角形；

（ii）S△PQG=[fb71b5efd849bd06.png]

=[17b30940ed3e888b.png]

=[083deb6e59f370da.png]

=[24cafc427132334a.png]

=[84e646246569164b.png]

=[6d507636b70258a8.png]

=[c5b1bf1517c0998d.png]

=[26177e5d3c1886f4.png]

=[acd376efc4918768.png]

=[2e846d84018fbf32.png]

令t=[5a4741a0dcdc415d.png]，则t≥2，

S△PQG=[7e1478398347f6d1.png]=[98e1282775ce3263.png]

利用“对号”函数f（t）=2t+[b51b10385b6b8d6b.png]在[2，+∞）的单调性可知，

f（t）[80cd29d0fd8f885c.png]（t=2时取等号），

∴[d2df285fc306bdba.png]=[d728b356b1469737.png]（此时[dec72ef97b633187.png]），

故△PQG面积的最大值为[e4a3298ef5dcc06d.png]．