已知cos（）=，则sin2α=　 　．

解：∵cos（[1f14ac5fa2bcf6f5.png]）=[c688da15e52a272f.png]，∴cos（2α+[f05f0613656ab88c.png]）=2[a030679ab8575712.png]﹣1=2×[0217ad390bbbb227.png]﹣1=﹣[121f09123be3081e.png]，

即﹣sin2α=﹣[cf1c8d6016dfe8aa.png]，∴sin2α=[64c2c33725068b42.png]，

故答案为：[683086f93404dd35.png]．

已知实数x，y满足条件，则x+y的最大值为　 　．

解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．

由z=x+y得y=﹣x+z，

平移直线y=﹣x+z，

由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，

此时z最大．

由[d46d0b17be6cd99f.png]，解得A（1，2），

代入目标函数z=x+y得z=1+2=3．

即目标函数z=x+y的最大值为3．

故答案为：3．

[6a37db6081e18219.png]

直线与双曲线的左、右两支分别交于B，C两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若OC平分∠AOB，则该双曲线的离心率为　 　．

解：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠COB，

由双曲线的对称性可知∠BOy=∠COy，

∴∠AOC=2∠COy，

∴∠AOC=60°，故直线OC的方程为y=[0c58206b431e56ab.png]x，

令[0dbd98fff9995240.png]x=[0b83841b167055b8.png]b可得x=b，即C（b，[28cb87f0d0b9860c.png]b），

代入双曲线方程可得[3d3c9beaa0a2eee9.png]﹣3=1，即[fa6075b4f8fe92be.png]=2，∴b=2a，

∴c=[cb2ef8801588786c.png]=[62e647eae6d84018.png]a，

∴e=[2a75be90903079a8.png]=[59e9f1cf9b27b6e5.png]．

故答案为：[fe87703de9004f9a.png]．

[26ab8d473c90e874.png]

设函数f（x）=﹣ex﹣x的图象上任意一点处的切线为l1，若函数g（x）=ax+cosx的图象上总存在一点，使得在该点处的切线l2满足l1⊥l2，则a的取值范围是　 　．

解：由f（x）=﹣ex﹣x，得f′（x）=﹣ex﹣1，

∵ex+1＞1，∴[0e1334a6927c9f4b.png]∈（0，1），

由g（x）=ax+cosx，得g′（x）=a﹣sinx，

又﹣sinx∈[﹣1，1]，

∴a﹣sinx∈[﹣1+a，1+a]，

要使过曲线f（x）=﹣ex﹣x上任意一点的切线为l1，

总存在过曲线g（x）=ax+cosx上一点处的切线l2，使得l1⊥l2，

则[a35514e3b2db77bf.png]，解得0≤a≤1．

即a的取值范围为[0，1]，

故答案为：[0，1]．

已知数列{an}的各项均为正数，a1=3，且对任意n∈N*，2an为an+12+3和1的等比中项，数列{bn}满足bn=an2﹣1（n∈N*）．

（1）求证：数列{bn}为等比数列，并求{an}通项公式；

（2）若cn=log2bn，{cn}的前n项和为Tn，求使Tn不小于360的n的最小值．

（1）证明：对任意n∈N*，2an都为[a3f2e15f56c58e00.png]和1的等比中项，

所以[f4a6d32f820d37ab.png]，即[6f57bd3b116719d9.png]，

也即[b62e7b32df595287.png]；…（2分）

所以[36e72156270492e1.png]，

因为[e0f37460f736de00.png]，所以bn+1=4bn，

所以数列{bn}成等比数列，首项为[bba2779c8de188a4.png]，公比为4，

所以[983ea3ab8f8dba2d.png]；…

所以[8757f8446431f154.png]，

又{an}为正项数列，所以[c6854af9f6f2cdf0.png]；…（6分）

（2）解：由[7ccc7a8c784ec8cf.png]，…（7分）

所以Tn=c1+c2+…+cn=（2×1+1）+（2×2+1）+…+（2n+1）

=2（1+2+3+…+n）+n

=2×[4a9cc6d7797d0b91.png]+n

=n2+2n；…

由Tn不小于360，即[25a581ab9431e75a.png]，

即n2+2n﹣360≥0，

也即（n+20）（n﹣18）≥0，

解得n≥18或n≤﹣20（不合题意，舍去）；

所以Tn不小于360的n的最小值为18…

如图，在圆柱W中，点O1、O2分别为上、下底面的圆心，平面MNFE是轴截面，点H在上底面圆周上（异于N、F），点G为下底面圆弧的中点，点H与点G在平面MNFE的同侧，圆柱W的底面半径为1．

（1）若平面FNH⊥平面NHG，证明：NG⊥FH；

（2）若直线O1H∥平面FGE，求H到平面FGE的距离．

（1）证明：由题知面FNH⊥面NHG，面FNH∩面NHG=NH，

因为NH⊥FH，又因为FH⊂平面FHN，

所以FH⊥平面NHG，…（3分）

所以FH⊥NG；…（4分）

（2）解：连接O1O2，如图所示，

因为O1O2∥EF，O1O2⊄平面FGE，EF⊂平面FGE，

所以O1O2∥平面FGE；…（6分）

又因为直线O1H∥平面FGE，O1H∩O1O2=O1，

所以平面O1HO2∥平面FGE，

所以H到平面FGE的距离等于O2到平面FGE的距离；…（9分）

取线段EG的中点V，

因为O2V⊥EG，O2V⊥EF，EG∩EF=E，

所以O2V⊥平面FGE，

所以H到平面FGE的距离为O2V，…（11分）

在等腰直角三角形EO2G中，O2E=O2G=1，

所以O2V=[98f95f4c6fda7bd3.png]，

所以所求的距离为[1297e55a5b49e3f8.png]…

[7f03e077a6416c04.png]

鲤鱼是中国五千年文化传承的载体之一，它既是拼搏进取、敢于突破自我、敢于冒险奋进精神的载体，又是富裕、吉庆、幸运的美好象征．某水产养殖研究所为发扬传统文化，准备进行“中国红鲤”和“中华彩鲤”杂交育种实验．研究所对200尾中国红鲤和160尾中华彩鲤幼苗进行2个月培育后，将根据体长分别选择生长快的10尾中国红鲤和8尾中华彩鲤作为种鱼进一步培育．为了解培育2个月后全体幼鱼的体长情况，按照品种进行分层抽样，其中共抽取40尾中国红鲤的体长数据（单位：cm）如下：

（1）根据以上样本数据推断，若某尾中国红鲤的体长为8.3cm，它能否被选为种鱼？说明理由；

（2）通过计算得到中国红鲤样本数据平均值为5.1cm，中华彩鲤样本数据平均值为4.875cm，求所有样本数据的平均值；

（3）如果将8尾中华彩鲤种鱼随机两两组合，求体长最长的2尾组合到一起的概率．

解：（1）能被选为种鱼；

因为200尾中国红鲤中有10尾能被选为种鱼，

所以40尾中国红鲤样本中有2尾能被选为种鱼；…（2分）

样本数据中身长为8.4cm和8cm的中国红鲤能被选为种鱼，

身长为7.5cm以下的中国红鲤不能被选为种鱼，

由于8.3＞8，所以该尾中国红鲤能被选为种鱼；…（4分）

（2）根据分层抽样的原则，抽取中华彩鲤样本数为32尾，…（6分）

所有样本数据平均值为[30a8e821f376243c.png]（cm）；…（8分）

（3）记体长最长的2尾中华彩鲤为A1，A2，其他6尾中华彩鲤为B1，B2，B3，B4，B5，B6；

考虑与A1组合的中华彩鲤，共有A2，B1，B2，B3，B4，B5，B6七种情况，…

所以，体长最长的2尾组合到一起的概率为[5ad22c27f8ea6618.png]…

已知圆F：（x﹣1）2+y2=1，动点Q（x，y）（x≥0），线段QF与圆F相交于点P，线段PQ的长度与点Q到y轴的距离相等．

（1）求动点Q的轨迹W的方程；

（2）过点F的直线l交曲线W于A，D两点，交圆F于B，C两点，其中B在线段AF上，C在线段DF上．求|AB|+4|CD|的最小值及此时直线l的斜率．

（本小题满分12分）

解：（1）由题知点Q到F的距离|QF|等于Q到y轴的距离加1

所以|QF|等于Q到直线x=﹣1的距离（2分）

由抛物线的定义可知

点Q的轨迹W是以F为焦点，以x=﹣1为准线的抛物线（3分）

所以动点Q的轨迹W的方程为y2=4x

（2）设[010561cde1e56ea0.png]，[c92e2419e5518455.png]

因为A，F，D三点共线，所以[08eb9e25d1de8b67.png]与[95fe1baec9ced0d0.png]共线

所以[3929432054dda864.png]，得y1y2=﹣4（*）（7分）

由抛物线的定义：[c0ed4f44c62ee4a7.png]（8分）

由基本不等式：[534bf50c356ea859.png]，

等号当且仅当|AB|=4|CD|时成立，即[7f8e9d4c4eb28175.png]

也即[5344df45287831d4.png]成立

又因为y1y2=1，所以[5315965ee1ef1956.png]，所以[e59e6556fdf5379c.png]或[a4e1895a5e96b798.png]（11分）

所以[107830142859b143.png]或[20cc8dabd07ffcdd.png]

所以|AB|+4|CD|的最小值为4，此时直线l的斜率为[4ac27d46272f5d8e.png]．

已知函数，．

（1）若g（x）在（0，e2]上为单调递增，求实数m的取值范围；

（2）若m=﹣1，且f（x）=g（x）•h（x），求证：对定义域内的任意实数x，不等式恒成立．

（本小题满分12分）

解：（1）由已知[791304580e027af8.png]的定义域为（0，+∞），

所以[c6f2bee0290491d1.png]（1分）

因为g（x）在（0，e2]上单调递增，

所以对任意x∈（0，e2]，都有[ba8cd04c86ef230a.png]

所以[0200c70549eebe69.png]，所以[4144aa116cbc430c.png]

即m≤x（1﹣lnx），（3分）

令h（x）=x（1﹣lnx），h'（x）=﹣lnx

所以当0＜x＜1时，h'（x）=﹣lnx＞0；当x=1时，h'（1）=0，当x＞1时，h'（x）＜0，

所以函数h（x）=x（1﹣lnx）在（0，1）上单调递增，在（1，e2]上单调递减，

因为0＜x＜1时，总有h（x）=x（1﹣lnx）＞0，

所以[ace73b5a97da7043.png]

所以m≤﹣e2，故实数m的取值范围是（﹣∞，﹣e2]．

证明：（2）当m=﹣1时，[6888ab7e59a52767.png]

对定义域内的任意正数x，不等式[aa95c1bba64a6c1b.png]恒成立，即x＞0时，[38e8d0f281937570.png]

因为当x＞1时，x2﹣1＞0；当0＜x＜1时，x2﹣1＜0

所以只须证：当x＞1时，2xlnx＜x2﹣1；当0＜x＜1时，2xlnx＞x2﹣（17分）

令G（x）=x2﹣1﹣2xlnx

所以G'（x）=（x2﹣1﹣2xlnx）'=2x﹣（2xlnx）'=2x﹣2lnx﹣2=2（x﹣lnx﹣1）

令m（x）=x﹣lnx﹣1，则[2acd157d5080469b.png]

所以x=1是m（x）的极值点，从而m（x）有极小值m（1）=0

所以G'（x）=2（x﹣lnx﹣1）＞0恒成立

所以G（x）=x2﹣1﹣2xlnx在（0，+∞）上单调递增，又因为G（1）=0，

所以当x＞1时，G（x）=x2﹣1﹣2xlnx＞0，即2xlnx＜x2﹣1恒成立；

当0＜x＜1时，G（x）=x2﹣1﹣2xlnx＜0，即2xlnx＞x2﹣1恒成立

所以，对定义域内的任意实数x，不等式[ccf47dd56f860e7c.png]恒成立．

已知平面直角坐标系xOy，直线l过点，且倾斜角为α，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．

（1）求直线l的参数方程和圆C的标准方程；

（2）设直线l与圆C交于M、N两点，若，求直线l的倾斜角的α值．

解：（1）因为直线l过点[91b7b5d5042175b6.png]，且倾斜角为α，

所以直线l的参数方程为[90623562a5dcf57f.png]（t为参数）．

因为圆C的极坐标方程为[19e4038cf115db40.png]，

所以[2d2c745207c3232e.png]，

所以圆C的普通方程为：[912c03611f4e93c9.png]，

圆C的标准方程为：[7af3e072968f1e1d.png]．

（2）直线l的参数方程为[1188c52a022acdba.png]，代入圆C的标准方程

得（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=5

整理得t2﹣2tcosα﹣4=0

设M、N两点对应的参数分别为t1、t2，则t1+t2=2cosα，

所以|PM|﹣|PN|=[d4421d3577c21972.png]，[fbed9c9b30575041.png]，

因为0≤α＜π，所以[64127108257ba9c8.png]或[396012caf7bab979.png]．