两个圆锥和一个圆柱分别有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球面上.若圆柱的侧面积等于两个圆锥的侧面积之和,且该球的表面积为16π,则圆柱的体积为( )

A:2π B:
π C:6π D:8π
若实数x,y满足
,则z=-2x+y的最小值为 .
解:画出实数x,y满足[d2193763f61f58c8.png]的可行域,z=-2x+y得y=2x+z在直线x+y=0与直线3x+y-2=0的交点A(1,-1)处,目标函数z=-2x+y的最小值为-3.
故答案为:-3.
[3890d0ad3adad464.png]
已知向量
=(t,1),
=(1,0),若
+2
与
垂直,则t= .
解:[6b57b5b9d8fdc801.png];
∵[39ed2995ee7743e1.png];
∴[fde94b2be7621d50.png];
∴t=-1.
故答案为:-1.
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=
,cosC=
,a=1,则b= .
解:由cosA=[e5c926bd9fcb561a.png],cosC=[39dbe471147762cb.png],可得
sinA=[9d16c2ae6dd83bad.png]=[05213f778a6eeb48.png]=[869ea2272d383dd9.png],
sinC=[5d0a50d6c7f33a8e.png]=[63d58233215d4673.png]=[634f5f8be76b13ef.png],
sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=[a42c85f751bdb996.png]×[d00df4a58d47d114.png]+[a7d87af491b876f1.png]×[a7e6a1c7b46af9c2.png]=[94aac0763bbb0ea2.png],
由正弦定理可得b=[46bb7e4dacc11c3d.png]
=[7ea0e7c365b04b9b.png]=[e9650854b0ec8f5f.png].
故答案为:[6f76873b2fd6eece.png].
已知O是椭圆E的对称中心,F1,F2是E的焦点.以O为圆心,OF1为半径的圆与E的一个交点为 A.若
与
的长度之比为2:1,则E的离心率等于 .
解:设椭圆方程为[73d8f4af75dbb9c2.png]+[02660b953b0b3b72.png]=1(a>b>0),
圆的圆心为原点,半径为c,
若[1503eaf4a693af1c.png]与[593382305e306756.png]的长度之比为2:1,
可得∠AOF1=120°,∠AOF2=60°,
即有|AF2|=c,|AF1|=[1747dd5baebb36a1.png]c,
由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=[ff23bd6ae6f07832.png]c+c=2a,
则e=[8bc6828f29898304.png]=[bad9a89cc94bc7d9.png]=[e18d3368a999da86.png]-1.
故答案为:[db994a9a3a64ec83.png]-1.
[bf54f2175c995017.png]
设数列{an}的前n项和为Sn.已知S1=2,an+1=Sn+2.
(1)证明:{an}为等比数列;
(2)记bn=log2an,数列{
}的前n项和为Tn,若Tn≥10,求λ的取值范围.
解:(1)证明:a1=S1=2,an+1=Sn+2.
可得a2=S1+2=4,
当n≥2时,an=Sn-1+2.
又an+1=Sn+2.相减可得an+1-an=an,
即an+1=2an,且a2=2a1,
则{an}为首项和公比均为2的等比数列;
(2)bn=log2an=log22n=n,
[4e70a9d76470b531.png]=[438e29a46283792d.png]=λ([85952867dff918b8.png]-[2849cbb4bf98cfeb.png]),
则前n项和为Tn=λ(1-[7675c83ac0695ef2.png]+[9135c81da1924121.png]-[38a82a506ad8be46.png]+…+[a1733183453f704c.png]-[e83541d729a9fd25.png])
=λ(1-[71e840932696e1f3.png]),
Tn≥10,即为λ≥[c57c0bce23fb906d.png],
而[8e065311e84542a6.png]=10(1+[8efdc140f6709b35.png])≤20,
可得λ≥20.
某校高三共有1000位学生,为了分析某次的数学考试成绩,采取随机抽样的方法抽取了50位高三学生的成绩进行统计分析,得到如图所示频数分布表:

(1)根据频数分布表计算成绩在[90,110)的频率并计算这组数据的平均值
(同组的数据用该组区间的中点值代替);
(2)用分层抽样的方法从成绩在[90,110)和[110,130)的学生中共抽取5人,从这5人中任取2人,求成绩在[90,110)和[110,130)中各有1人的概率.
(1)根据频率分布表知成绩在[90,100)内的概率为[fcafd1cc11298042.png],[85be72e2f21f1815.png]+0.24×120+0.12×140=102.8,
故答案为:0.36 102.8.
(2)根据分层抽样得应在[90,110)和[110,130)中分别抽取3人和2人,
将[90,110)中的3人编号为1,2,3,
将[110,130)中的2人编号为a,b,
则此事件中的所有基本事件为(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b),共10个,
记成绩在[90,110)和[110,130)中各有1人为事件A,事件A包含的基本事件有(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)共6个,
则[4e60749a3df1530e.png],
故答案为:[8bc8aa273cc8b99b.png].
如图1,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=3,CD=6,过A,B分别作CD的垂线,垂足分别为E,F,已知DE=1,AE=3,将梯形ABCD沿AE,BF同侧折起,使得平面ADE⊥平面ABFE,平面ADE∥平面BCF,得到图2.

(1)证明:BE∥平面ACD;
(2)求三棱锥C-AED的体积.
(1)证明:设AF∩BE=O,取AC中点M,连接OM.
∵四边形ABFE为正方形,∴O为AF中点,∵M为AC中点,∴[75c799c822732e75.png].
∵[420826351fd34a9f.png]平面ABFE.
又∵平面ADE∥平面BCF,∴平面BCF⊥平面ABFE,同理,CF⊥平面ABFE.
又∵DE=1,FC=2,∴[42f985b7944e3340.png],
∴[a6141d82dd9db892.png],∴四边形DEOM为平行四边形,∴DM∥OE.
∵DM⊂平面ADC,BE⊄平面ADC,∴BE∥平面ADC.
(2)解:∵[ce5e2af3e424589f.png]平面ADE,
∴点C到平面ADE的距离等于点F到平面ADE的距离.
∴[971ecc5a12035d52.png].
[2118a189927fbd55.png]
已知点F(1,0),动点P到直线x=2的距离与动点P到点F的距离之比为
.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)过点F作任一直线交曲线C于A,B两点,过点F作AB的垂线交直线x=2于点N,求证:ON平分线段AB.
解:(1)设P(x,y),则[f5862bc544a05a23.png],
化简得[b01cbabf0cf00484.png].
(2)设AB的直线方程为x=my+1,
则NF的直线方程为y=-m(x-1),
联立[0f1d843258818bf1.png]得N(2,-m),
∴直线ON的方程为[9b03f0dbd84e4a61.png],
联立[78a58472139cda0d.png].得(m2+2)y2+2my-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则[d7a6d576af35656f.png],
设AB的中点为M(x0,y0),则[61be0d581a91597d.png],
∴[d6fbb99a029054ab.png],
∴[6e8b5a5c7b3726ff.png].
将点M坐标代入直线ON的方程[bbd3fdbbf9502ac1.png],
∴点M在直线ON上,∴ON平分线段AB.
已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).
(I)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(II)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.
解:(I)当a=4时,f(x)=(x+1)lnx-4(x-1).
f(1)=0,即点为(1,0),
函数的导数f′(x)=lnx+(x+1)•[6b0cb3a59d131a52.png]-4,
则f′(1)=ln1+2-4=2-4=-2,
即函数的切线斜率k=f′(1)=-2,
则曲线y=f(x)在(1,0)处的切线方程为y=-2(x-1)=-2x+2;
(II)∵f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),
∴f′(x)=1+[7974dcc2dc6c5916.png]+lnx-a,
∴f″(x)=[d52ee92879b66c5a.png],
∵x>1,∴f″(x)>0,
∴f′(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴f′(x)>f′(1)=2-a.
①a≤2,f′(x)>f′(1)≥0,
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,
∴f(x)>f(1)=0,满足题意;
②a>2,存在x0∈(1,+∞),f′(x0)=0,函数f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,
由f(1)=0,可得存在x0∈(1,+∞),f(x0)<0,不合题意.
综上所述,a≤2.
另解:若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,
可得(x+1)lnx-a(x-1)>0,
即为a<[6da470d13eae9649.png],
由y=[b9388085fe899d72.png]的导数为y′=[a13313a29ed65c3b.png],
由y=x-[cbe9d56b5a1a6ac6.png]-2lnx的导数为y′=1+[f3df548496bdb147.png]-[8d6d8f5af0ea2f25.png]=[b97c5554a7c6759a.png]>0,
函数y在x>1递增,可得[00b621e60feaba43.png]>0,
则函数y=[1478bcfc354aed9a.png]在x>1递增,
则[764787f6c4101f31.png][ab177a78e28b525e.png]=[33e97f371b058653.png][3f16e93af258d9d2.png]=2,
可得[2314e7c6ea2a2676.png]>2恒成立,
即有a≤2.