某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为　 　．

解：样本间隔为23﹣14＝9，则第四个编号为14+2×9＝14+18＝32，

故答案为：32

（2x+y）（x﹣2y）5的展开式中，x2y4的系数为　 　．（用数字作答）

解：∵（2x+y）（x﹣2y）5＝（2x+y）（x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5），

∴x2y4的系数为2×80﹣80＝80，

故答案为：80．

如图所示，在正方形OABC内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率为　 　．

解：正方形的面积为e2，

由[06989fd240750fac.png]lnxdx＝（xlnx﹣x）|[ffe7929d0815d80d.png]＝1，

由[1b30d4273bc88fd4.png]lnydy＝1，

故S阴影＝2，

故此点取自黑色部分的概率为[d7915d1beb193e08.png]，

故答案为：[c9b19752a0659a5c.png]

在△ABC中，记＝﹣3，＝，若⊥，则sinA的最大值为　 　．

解：∵在△ABC中，记[9fb91fcfc418306e.png]＝[a1da0404aa0a1cbe.png]﹣3[623c7efc4ad7834f.png]＝[efa035b82b86f460.png]﹣[2fe7572b4853dd8d.png]﹣3[0367fc14b8f5164d.png]＝[4858aefc4555d384.png]﹣4[6065c1ea090e235a.png]，[43f7c9cf3fac9974.png]＝[873fe7d48a9da665.png]＝[4ad6f3b69a5b8a28.png]﹣[be276bb3eaea15e4.png]，[90a775b24ba30c80.png]⊥[a7eb751d366a64c9.png]，

∴[4a783c134f8dacab.png]＝[eda96d4670576b26.png]﹣5[d9146b7d3d27381b.png]•[455612f03b9ce871.png]+4[4e7908a14cbb8bf6.png]＝0

cosA＝[630c3c090781a2ff.png]＝[5bab1c0f15a3eb96.png]＝[a4b331e9550187c5.png]≥[ea0d625ebb6c3a67.png]＝[42dfe27cccd9d400.png]，

当且仅当[e8a97d01fbde4985.png]时取到等号．又因为sin2A+cos2A＝1，

所以sinA的最大值为[2dd834e0b7a7d948.png]．

故答案为[85ac536c36a62999.png]

等差数列{an}的公差为正数，a1＝1，其前n项和为Sn；数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．

（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；

（Ⅱ）设cn＝bn+，求数列{cn}的前n项和Tn．

解：（Ⅰ）等差数列{an}的公差d为正数，a1＝1，

数列{bn}为等比数列，设公比为q，

b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10，

可得2q（2+d）＝12，2q+3+3d＝10，

解得q＝2，d＝1，

则an＝1+n﹣1＝n，bn＝2n；

（Ⅱ）cn＝bn+[9d0e04153ebac70a.png]＝2n+[1938049da5029027.png]＝2n+2（[5e621d50ac8eb677.png][d04a095f35f18d93.png]），

则前n项和Tn＝（2+4+…+2n）+2（1﹣[1470d5d6a0f3cc9d.png]+[37bd03c9ba5078e2.png]﹣[345ed6ac894cdb86.png]+…+[5216133c0786e676.png][0d567a6d5c2bcfe5.png]）

＝[4a409f6686bbf36f.png]+2（1﹣[f3415bb3cb0a1de1.png]）

＝2n+1﹣[e491b994f9362825.png]．

如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠ABC＝60°，AB＝，AD＝2，AP＝3．

（Ⅰ）求证：平面PCA⊥平面PCD；

（Ⅱ）设E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，求二面角E﹣AB﹣D的余弦值．

证明：（Ⅰ）在平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°，CD＝[ca370a1958d26fad.png]，AD＝2[44fdbbc670eb2124.png]，

由余弦定理得AC2＝AD2+CD2﹣2AD•CDcos∠ADC＝12+3﹣2×[2fe6f17f4c25b42a.png]＝9，

∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴CD⊥AC，

∵PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，∴PA⊥CD，

又AC∩CD＝C，∴CD⊥平面PCA，

又CD⊂平面PCD，∴平面PCA⊥平面PCD．

解：（Ⅱ）E为侧棱PC上的一点，若直线BE与底面ABCD所成的角为45°，

如图，以A为坐标原点，AB，AC，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A（0，0，0），B（[9ec5d89d854a0142.png]，0，0），C（0，3，0），D（﹣[930654c1cb1b9df7.png]，3，0），P（0，0，3），

设E（x，y，z），[dc1ad49d61c3d154.png]＝[d33de4cb08ce4179.png]，（0≤λ≤1），则（x，y，z﹣3）＝λ（0，3，﹣3），

∴E（0，3λ，3﹣3λ），

∵平面ABCD的一个法向量[3d550f08e04967d1.png]＝（0，0，1），

∴sin45°＝|cos＜[8fc40025bd86b094.png]＞|＝[e8a707586e832434.png]，

解得λ＝[933ef22d73e93ce4.png]，

∴点E的坐标为（0，1，2），∴[b0261712ece5869d.png]＝（0，1，2），[3335bc28def7de6e.png]＝（[743c52b004887845.png]），

设平面EAB的法向量[7bd1d493edb1ab07.png]＝（x，y，z），

则[12ea0f6c22f12f19.png]，取z＝1，得[9301dbdbd123c7db.png]＝（0，﹣2，1），

设二面角E﹣AB﹣D的平面角为θ，

则cosθ＝[0b7055f3d3329aa5.png]＝[8e14b095b692bb7a.png]，

∴二面角E﹣AB﹣D的余弦值为[a7d7e8cdb18cd993.png]．

[0bb1c872a3753551.png]

某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50），第二组[50，55），…第六组[70，75），得到如图（1）所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图（2）所示，以样本的频率作为总体的概率．

（Ⅰ）求频率分布直方图中a，b，c的值；

（Ⅱ）从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65）的人数，求X的概率分布列和数学期望；

（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重ξ近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ＝60，σ2＝25．若P（μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ）＞0.9545，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常？并说明理由

解：（Ⅰ）由图（2）知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，

用样本的频率估计总体的频率，可得体重低于50公斤的概率为[17155e67bb15b087.png]＝0.02；

所以a＝[186209faa90bdea5.png]＝0.004；

在[50，55]上有13人，该组的频率为0.13，

则b＝[5b2bc19d07b102f9.png]＝0.026，

所以2c＝[bf61883eba282898.png]＝0.14，

即c＝0.07；

（Ⅱ）用样本的频率估计总体的频率，可知从全校学生中随机抽取1人，体重在[55，65）的概率为0.07×10＝0.7，

随机抽取3人，相当于3次独立重复实验，随机变量X服从二项分布B（3，0.7），

则P（X＝0）＝[74f912c8aa3c0816.png]•0.70•0.33＝0.027，

P（X＝1）＝[bf22c76fc9ebff4d.png]•0.7•0.32＝0.189，

P（X＝2）＝[1ee67d92993f4709.png]•0.72•0.3＝0.441，

P（X＝3）＝[9f23488103b50621.png]•0.73•0.30＝0.343；

所以X的概率分布列为：

[908b09bc16a071c6.png]

数学期望为E（X）＝3×0.7＝2.1；

（Ⅲ）由题意知ξ服从正态分布N（60，25），其中σ＝5；

则P（μ﹣2σ≤ξ＜μ+2σ）＝P（50≤ξ＜70）＝0.96＞0.9545，

所以可以认为该校学生的体重是正常的．

已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C过点P（1，）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆C的右焦点为F，直线l与椭圆C相切于点A，与直线x＝3相交于点B，求证：∠AFB的大小为定值．

解：（Ⅰ）由题意可知[1b0d8fd6c0f1ef44.png]，解得a2＝3，b2＝2，c2＝1，

∴椭圆C的方程为[85685e5e5068f91f.png]+[c87995cb1d3f0e47.png]＝1．

证明（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，

设l：y＝kx+m，联立[9a9d66d5194f0e6a.png]，得（3k2+2）x2+6kmx+3m2﹣6＝0

△＝36k2m2﹣12（3k2+2）（m2﹣2）＝0，得m2＝3k2+2，

设A（x1，y1），

则x1＝﹣[ecda40598ac5f50c.png]＝﹣[6fda548812f0429f.png]＝﹣[04c2d7f4e8941677.png]，

∴y1＝kx1+m＝﹣[8f303c0e3bfc99f7.png]+m＝[f2269e352b3f16cc.png]＝[78381f8038a7ea75.png]，

∴A（﹣[505687e6496b80a8.png]，[546ea9e409f1d571.png]），

∵点B为（3，3k+m），右焦点F（1，0），

∴[67d8dc9a21b9705e.png]＝（﹣[cff2ad5f7e2ca785.png]﹣1，[635ad5a25805bef8.png]），[963d87bdf56336b8.png]＝（2，3k+m），

∴[85e1ab3efc8dcf04.png]•[274cf7fbaadfb2f1.png]＝﹣[5ebd825b46e41347.png]﹣2+[ace7629a57169498.png]+2＝0，

∴∠AFB＝90°，即∠AFB的大小为定值．

已知函数f（x）＝x﹣alnx+a﹣1（a∈R）．

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）若x∈[ea，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）＝1﹣[20da76e748a897bf.png]＝[177fa9bcdb16ba24.png]，

①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，

②当a＞0时，由f′（x）＝0，解得：x＝a，

故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，

综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，

当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；

（Ⅱ）①当a＝0时，∵x≥1，∴f（x）＝x﹣1≥0恒成立，

故a＝0符合题意，

②当a＜0时，ea＜0，∵f（1）＝a＜0，故f（x）≥0不恒成立，舍，

③当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，

下面先证明：ea＞a（a＞0），

设p（a）＝ea﹣a，∵p′（a）＝ea﹣1＞0，

∴p（a）在（0，+∞）递增，p（a）≥p（0）＝1＞0，故ea＞a，

故f（x）在[ea，+∞）递增，

故f（x）min＝f（ea）＝ea﹣a2+a﹣1，

设q（a）＝ea﹣a2+a﹣1（a＞0），则q′（a）＝ea﹣2a+1，q″（a）＝ea﹣2，

由q″（a）＞0，解得：a＞ln2，由q″（a）＜0，解得：0＜a＜ln2，

故q′（a）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，

故q′（a）≥q′（ln2）＝3﹣2ln2＞0，

故q（a）在（0，+∞）递增，

故q（a）＞q（0）＝0，故f（x）min＞0，

故f（x）≥0恒成立，

故a＞0符合题意，

综上，a的范围是[0，+∞）．

在平面直角坐标系xOy中，已知点M的直角坐标为（1，0），直线l的参数方程为（t为参数）；以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ．

（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）直线l和曲线C交于A，B两点，求的值．

解：（Ⅰ）直线l的参数方程为[e5cc6c4ef86e2d79.png]（t为参数）；

转换为直角坐标方程为：x﹣y﹣1＝0，

曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ．

转换为直角坐标方程为：y2＝2x．

（Ⅱ）将直线l的参数方程为[c4df2b792467819f.png]（t为参数）；代入y2＝2x，

得到：[375cd9ece813d5fb.png]（t1和t2为A、B对应的参数）

所以：[1443dc8c6b053d80.png]，t1•t2＝﹣4，

则：[bd521d5c6941ffbb.png]＝[09a345eb048e1c20.png]＝[97442bfb142e30ca.png]＝1．