已知$2^1\times 1=2,2^2\times 1\times 3=3\times 4,2^3\times 1\times 3\times 5=4\times 5\times 6,\dots$，以此类推，第$5$个等式为（ ）

A: $2^4\times 1\times 3\times 5\times 7=5\times 6\times 7\times 8$ B: $2^5\times 1\times 3\times 5\times 7\times 9=5\times 6\times 7\times 8\times 9$ C: $2^4\times 1\times 3\times 5\times 7\times 9=6\times 7\times 8\times 9\times 10$ D: $2^5\times 1\times 3\times 5\times 7\times 9=6\times 7\times 8\times 9\times 10$

观察下列式子：$1+\frac{1}{2^2}<\frac{3}{2},1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}<\frac{5}{3},1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}<\frac{7}{4},\cdots$，根据以上式子可以猜想：$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{2{014}^2}<$( )

A:$\frac{4 025}{2 014}$ B:$\frac{4 026}{2 014}$ C:$\frac{4 027}{2 014}$ D:$\frac{4 028}{2 014}$

观察下列式子：$1+\frac{1}{2^2}<\frac{3}{2}$，$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}<\frac{5}{3}$，$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}<\frac{7}{4}\cdots$则可归纳出__________.

阅读材料：求$1+2+2^2+2^3+2^4+\cdots +2^{2013}$的值.

解：设$S=1+2+2^2+2^3+2^4+\cdots +2^{2012}+2^{2013}$，将等式两边同时乘以$2$得：

$2S=2+2^2+2^3+2^4+2^5+\cdots +2^{2013}+2^{2014}$

将下式减去上式得$2S-S=2^{2014}-1$

即$S=2^{2014}-1$

即$1+2+2^2+2^3+2^4+\cdots +2^{2013}=2^{2014}-1$

请你仿照此法计算：

（1）$1+2+2^2+2^3+2^4+\cdots +2^{10}$

（2）$1+3+3^2+3^3+3^4+\cdots +3^n$（其中 $n$为正整数）.

先找规律，再填数：$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2},\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=\frac{1}{12},\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=\frac{1}{30},\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=\frac{1}{56}$，则$\frac{1}{2011}+\frac{1}{2012}-\frac{1}{1006}=\frac{1}{2011\times 2012}$.

已知：$\frac{2-1}{2^2-1^2}=\frac{1}{3};\frac{4-3+2-1}{4^2-3^2+2^2-1^2}=\frac{1}{5}$；

计算：$\frac{6-5+4-3+2-1}{6^2-5^2+4^2-3^2+2^2-1^2}$=__________；

猜想：$\frac{\left[\left(2n+2\right)-\left(2n+1\right)\right]+\dots +\left(6-5\right)+\left(4-3\right)+\left(2-1\right)}{\left[{\left(2n+2\right)}^2-{\left(2n+1\right)}^2\right]+\dots +\left(6^2-5^2\right)+\left(4^2-3^2\right)+\left(2^2-1^2\right)}$=_________.

求和$\frac{1^2}{1^2+{10}^2}+\frac{2^2}{2^2+9^2}+\frac{3^2}{3^2+8^2}+\cdots +\frac{{10}^2}{{10}^2+1^2}$.

观察下列式子：$1+\frac{1}{2^2}<\frac{3}{2}$，$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}<\frac{5}{3}$，$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}<\frac{7}{4}\cdots$则可归纳出__________.