如图，长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$AB=AD=1$，$A{A}_1=2$，点 $P$ 为 $D{D}_1$ 的中点.

（1）求证：直线 $B{D}_1$//平面$PAC$；

（2）求证：平面$PAC\perp$平面$BD{D}_1{B}_1$；

（3）求 $CP$ 与平面 $BD{D}_1{B}_1$ 所成的角大小.

贝壳的主要成分是碳酸钙，为同测定贝壳中碳酸钙的含量，现将150g稀盐酸分五次加入到25g贝壳样品中（杂质不溶于水，也不参与反应），充分反应后测得生成气体的总质量见表，请计算：

（1）m的值为　 　.
（2）贝壳样品中碳酸钙的质量分数（要写出计算过程）.

解：（1）根据记录数据可发现，30g的盐酸完全反应生成二氧化碳气体的质量是2.2g，第4次实验中加入盐酸生成的二氧化碳是8.8g，说明了第三次实验中盐酸完全反应，可推出m的值为6.6；故填：6.6；

（2）设石灰石中CaCO3的质量为x，

CaCO3+2HCl=CaCl2+H2O+CO2↑

100 44

x 8.8g

[342afccfc40cc560.png]

x=20g

贝壳样品中碳酸钙的质量分数[4931a92953bfa76a.png]×100%=80%

答：贝壳样品中碳酸钙的质量分数[5e7676bf7785133e.png]×100%=80%.

在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y轴于B，且B（0，b）是y轴负半轴上一点，且a，b满足+|b+4|＝0

（1）求点A和点B的坐标；

（2）如图1，点D为线段OA（端点除外）上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E，交直线AB于F，∠EOD、∠AFD的三等分线相交于N，其中∠EON＝∠EOA，∠AFN＝∠AFD，求∠ONF的度数．

（3）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的三等分线相交于点N，其中∠EON＝∠EOA，∠AFN＝∠AFD，若记∠ODF＝α，请直接写出∠ONF的大小（用含有α的式子表示）．

解：（1）由题意知[c94a316fe592c387.png]

解得：[9cd52cb97799dcf8.png]∴A点（6，﹣4）B点（0，﹣4）

（2）∠EOA+∠AFD＝∠ODF＝90°

∵∠EON＝[9335921d22e1a580.png]∠EOA，∠AFD＝[1463838f41d177f0.png]∠AFD

∴∠EON+∠AFN＝[9d9405daa3b4d612.png]∠ODF＝30°

∴∠ONF＝30°

（3）设∠EON＝β，

∴∠AON＝2β，

∵AB∥x轴，

∴∠A＝∠AOE＝3β，

∴∠FEO＝α﹣∠AOE＝α﹣3β，

∴∠AFE＝∠FEO＝α﹣3β，

∴∠AFN＝[073a802741259a56.png]（α﹣3β）＝[33eae2edfa575af4.png]α﹣β，

∵∠ONF+∠AON＝∠A+∠AFN，

∴∠ONF+2β＝3β+[3688d99158fbe1aa.png]α﹣β

∴∠ONF＝[81e2d61e6e103b07.png]∠α

在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第一象限内的一点，AB⊥y轴于点B，且b2＝9，S△AOB＝6．

（1）求点A和点B的坐标；

（2）如图1，点D为线段OA（不与O、A重合）上一动点，过点D作AO的垂线交x轴于点E，交直线AB于点F，∠EOD与∠AFD的平分线相交于点N，当点D运动时，证明∠ONF为定值，并求其值；

（3）如图2，若（2）中的直线EF与线段OA斜交于点D，且∠ODF＝α，请用含α的式子表示∠ONF，并说明理由．

解：（1）∵b2＝9

∴b＝±3，

∵b＞0，

∴b＝3，

∴B（0，3）

又AB⊥y轴，S△AOB＝6

∴[03ddf48e0954b408.png]AB•BO＝6，即[312f4d30047f9db9.png]AB×3＝6，解得AB＝4

∴A的坐标为（4，3）

（2）∠ONF＝45°为定值．

理由：如图1在，过点N作NM∥x轴，

∴∠MNO＝∠NOC

∵ON是∠EOD的角平分线，

∴∠MNO＝∠NOC＝[8e391df253e0c6dd.png]∠EOD

又AB∥x轴

∴MN∥AB

同理可证：∠MNF＝∠NFA＝[09b40a05648441d8.png]∠AFD，

∵AB∥x轴

∴∠OED＝∠AFD

∵ED⊥OA

∴∠EOD+∠AFD＝∠EOD+∠OED＝90°

∴∠ONF＝∠MNO+∠MNF＝[e24b08e8c71fb3d3.png]（∠EOD+∠AFD）＝[e8a41f8e93297ef9.png]×90°＝45°

（3）如图2，过点N作NM∥x轴，

∵NM∥x，

∴∠MNO＝∠NOC，

∵ON是∠EOD的角平分线，

∴∠MNO＝∠NOC＝[40341555544460f1.png]∠EOD，

又∵MN∥AB

∴∠MNF＝∠NFA，

∵FN是∠AFD的角平分线，

∴∠MNF＝∠NFA＝[905bfb205d1a88dd.png]∠AFD，

∵AB∥x轴，

∴∠OED＝∠AFD，

∵∠ODF＝∠EOD+∠AFD＝α，

∴∠ONF＝∠MNO+∠MNF＝[3c572367dafc36fb.png]（∠EOD+∠AFD）＝[bb8bbc56f8013f66.png]α．

[d09bd52856e9435a.png]

小东同学用硬纸板、激光笔和平面镜探究光反射的规律，他进行了下面的操作：

（1）把平面镜放在水平桌面上，将硬纸板ENF垂直放置在平面镜上，纸板上的直线ON垂直于镜面，如图所示．

（2）使一束光贴着纸板沿EO方向入射到O点，经平面镜反射，沿纸板上OF方向射出，EO和ON的夹角为∠i，OF与ON的夹角为∠r．

（3）改变光束的入射方向，使∠i减小，这时∠r　 　（选填“增大”“减小”或“不变”）．在实验过程中发现∠r总是　 　∠i．（选填“大于”“小于”或“等于”）

（4）若纸板ENF和平面镜不垂直，光束仍沿纸板上EO方向入射到O点，这时在纸板的ONF半面内　 　（选填“能”或“不能”）观察到反射光．

解：（1）如图甲，让一束光贴着纸板沿某一个角度射到0点，经平面镜的反射，沿另一个方向射出，改变光束的入射方向，使∠i减小，这时∠r跟着减小，使∠i增大，∠r跟着增大，总是∠r等于∠i，说明反射角等于入射角．

（2）若纸板ENF和平面镜不垂直，光束仍沿纸板上EO方向入射到O点，这时在纸板的ONF半面内不能观察到反射光，说明反射光线、入射光线和法线在同一平面内．

故答案为：（1）减小；等于；（2）不能．

如图∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的eO与BC交于点E.

（Ⅰ）求证：BC•CD=AD•DB；

（Ⅱ）若BE=4，点N在线段BE上移动，∠ONF=90°，NF与⊙O相交于点F，求NF的最小值.

【考点】与圆有关的比例线段.

【分析】（Ⅰ）由∠ACB=90°，CD⊥AB于D，得到CD²=AD•DB，由此利用切割线定理能证明CE•CB=AD•DB.

（Ⅱ）由NF=，线段OF的长为定值，得到需求解线段ON长度的最小值，由此能求出结果.

【解答】证明：（Ⅰ）在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

∴CD²=AD•DB，

∵CD是圆O的切线，

由切割线定理，得CD²=CE•CB，

∴CE•CB=AD•DB.

解：（Ⅱ）∵ON⊥NF，∴NF=，

∵线段OF的长为定值，即需求解线段ON长度的最小值，

弦中点到圆心的距离最短，此时N为BE的中点，点F与点B或E重合，

∴|NF|_min=|BE|=2.