设X₁，X₂，…，X_n是来自总体分布为N（2，9）的简单随机样本，则有（）。

A:X1，X2，…，Xn相互独立同分布 B:X1，X2，…，Xn彼此相等 C:  D: E:X1与X1+X2/2同分布

若x₁，x₂，x₃，…，x_n为n个相互独立的随机变量，则下列说法正确的是（）.

A:x1，x2，x3，…，xn服从正态分布，且分布的参数相同，则服从正态分布 B:x1，x2，x3，…，xn服从正态分布，且均值相同，方差不同，则服从正态分布 C:只有当x1，x2，x3，…，xn服从正态分布时，其均值才服从正态分布 D:无论x1，x2，x3，…，xn服从任何分布，其均值都服从正态分布

设X1，X2，…，Xn是一个样本，样本的观测值分别为x1，x2，…，xn，则样本方差s2的计算公式正确的有（）。

A:A B:B C:C D:D

设总体X的概率密度为 其中θ(0＜θ＜1)是未知参数．X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．记N为样本值x1，x2…，xn中小于1的个数．求： (Ⅰ) θ的矩估计； (Ⅱ) θ的最大似然估计．

(Ⅰ)本题中被估计参数θ是总体期望u的线性函数，应用样本均值的同一线性函数作为θ的矩估计．
[*]
则[*]，所以θ的矩估计为
[*]
(Ⅱ) 求最大似然估计，先要写出其似然函数．因为总体X是连续型随机变量，所以其似然函数是(X₁，X₂，…，X_n)的联合概率密度．
因为已知N为样本值x₁，x₂，…，x_n中小于1的个数，即样本值x₁，x₂，…x_n中有N个小于1，其余n-N个大于或等于1，所以似然函数为
L=θ^N(1-θ)^n-N，
从而有
[*]
令[*]所以θ的最大似然估计为[*]

设n元实二次型f(x1，x2，…，xn)=xTAx， x=(x1，x2，…，xn)T． 证明：f在条件下的最大值恰为方阵A的最大特征值．

[详解] 由题设知，存在正交变换x=Qy，把二次型f=x^TAx化为标准形
[*]
其中λ₁，λ₂，…，λ_n是A的特征值且λ₁，λ₂，…，λ_n全是实数．
不妨设λ₁，λ₂，…，λ_n中的最大值为λ₁，注意到[*]时
有 [*]
于是 [*]
说明f在条件[*]下的最大值不超过A的最大特征值λ₁．
为证λ₁是f在x^Tx=1上的最大值，只需证明：在x^Tx=1上存在点x，使f=x^TAx=λ₁．
在单位球面y^Ty=1上取一点y₀=(1，0，…，0)^T，则有
[*]
若令x₀=Qy₀，则[*]，并且[*]
故λ₁是二次型f=x^TAx在x^Tx=1下的最大值．

设A=(aij)n×n是秩为n的n阶实对称矩阵，Aij是|A|中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=记X=(x1，x2，…，xn)T，试写出二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵形式。

设总体X的概率密度为 其中θ是未知参数(0＜θ＜1)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1，x2，…，xn中小于1的个数．求θ的矩估计；

设总体X的概率密度为 其中θ是未知参数(0＜θ＜1)，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1，x2，…，xn中小于1的个数．求θ的最大似然估计．

设xn是方程tanx-x的正根，且从小到大排列：x1＜x2＜…＜xn＜…．试证：级数收敛。

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设xn是方程tanx-x的正根，且从小到大排列：x1＜x2＜…＜xn＜…．试证：级数收敛。

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